После окончания 8 классов и школы фабрично-заводского ученичества Александр Романович поступил на работу в Дом печати в городе Минске, окончил аэроклуб. С июня 1940 года в рядах Красной Армии. В 1941 году окончил Батайскую военную авиационную школу лётчиков и был оставлен в резерве лётно-технического состава.Первое боевое крещение молодой летчик получил в небе над Сталинградом, где 13.09.1942 открыл свой личный счет сбитых самолетов противника. В районе Новороссийска в сентябре 1942 самолет Александра Ивашко был подбит. Пилот выбросился на парашюте и упал в море. Воздушный бой заметили моряки торпедного катера и бросились к тонущему летчику. Катер был атакован с воздуха самолетами противника. Весь экипаж погиб, спасая летчика. В живых остался один юнга. Он и доставил тело раненного летчика на берег. Александр Ивашко получил пулевое ранение руки и ожег лица первой степени. Первая почетная награда – Орден Красной Звезды был вручен пилоту 15 ИАП старшему сержанту Ивашко Александру Романовичу в декабре 1942 года. Из наградного листа: «В войне с немецкими захватчиками участвует с августа 1942 года. Провел 14 воздушных боев с самолетами противника. Лично сбил один самолет Ю-88 и в группе один самолет МЕ-109Ф. В боях смел, напорист, выдерживал напряжение до 6 боевых самолетовылетов с воздушными боями».Гвардии старший лейтенант А. Р. Ивашко был тяжело ранен в голову и плечо в воздушном бою. Покинул самолёт с парашютом, умер по дороге в госпиталь. Похоронен в братской могиле села Пяски (близ города Берестечко). В 1951 году перезахоронен в братскую могилу на Центральной площади города Берестечко. Всего совершил более 100 боевых вылетов, в воздушных боях сбил лично 5 самолётов противника. Именем лётчика названа улица в городе Марьина Горка.